周期ゼミ (素数ゼミ) の謎 ～ １３年ゼミと１７年ゼミ

■１３年ゼミと１７年ゼミ

夏なのでセミの話題でもしようかと思います。

セミかよ～、興味ね～よ～、勘弁してくれよ～、怪物頼む怪物！という声が聞こえますが、今日はセミで行くと決めたのでセミで行きます。（笑）

今回は旧サイト (ＵＭＡファン) でも取り上げた１３年ゼミと１７年ゼミをアップデートしてお送りいたします。

北米にのみ生息する１３年ゼミ (13-year cicada) と１７年ゼミ (17-year cicada) のマジシカダ属 (Magicicada) はこの長いサイクル (周期) でしかお目にかかれないことから、種は異なりますが「周期ゼミ (Periodical cicadas)」と総称されます。

日本のセミは種類によってもちろん異なりますが、例えば２～５年ほどで成虫になるといわれていますが、もっとも一般的かつ見慣れたセミのひとつ、アブラゼミ (Graptopsaltria nigrofuscata) が例えば５年周期だったとします。

アブラゼミは５年に一度だけしかお目にかかれない、なんてことはありません、今年産んだ卵は５年後に生まれますし、来年生まれたアブラゼミはその５年後、という風に、毎年見られます。

ところが、その地域ごとに周期ゼミは１３年ごと、１７年ごとにしかお目にかかれません。

一斉に発生し、一斉に交尾し、一斉に卵を産み、そしてそれぞれ１２年、１６年間というなが～い沈黙に入ります。

周期ゼミのサイクルは１３と１７という素数 (注１参照。１を除いた、約数が自身と１のみの自然数) であることから、「素数ゼミ」とも呼ばれます。

(注１：素数。１３だとすると１と自身の１３でしか割り切れません。１７も同様。では１２だとしたら？ １と自身の１２に加え、２、３、４、６でも割り切れるので素数でないことがわかります)

立証されているわけではないと思いますが、このサイクルが素数であることは偶然ではないという説があります。

(１７年ゼミの２種 (Magicicada septendecim, Magicicada cassini) が同時に発生したら折り重なるように！)

(image credit by Wikicommons)

はるか昔、いろいろな周期のセミが存在したとします。

ここでは１２年ゼミから１年単位で１８年ゼミまで７種のマジシカダ属の周期ゼミがいたものと仮定します。

例えば、１２年ゼミと１５年ゼミだけをピックアップして、この異なるサイクルの２種が同時に発生した年、ペアにある組み合わせは３種類あります。

１２年ゼミ同士のペア、１５年ゼミ同士のペア、１２年ゼミと１５年ゼミのペア。

１２年ゼミ同士、１５年ゼミ同士のペアは問題ありませんが、１２年ゼミと１５年ゼミの交雑種ペアは異なるサイクルを持っているため、その子孫はサイクルがくるってしまう可能性が考えられます。

１２年でも１５年でもない１３年や１４年サイクルで生まれてしまった場合、本来のサイクルから外れてしまったがため、一斉にみなが出てくる１年後２年後、また１年前２年前に成虫になってしまい、ペアになる相手が少なく子孫を残せない可能性が高くなります。

そういうわけで、交雑を避けるため、異なるサイクルを持つセミ同士は同一の年に生まれるのは得策ではないように感じます。

そこで有利になるのが約数の少ない素数をサイクルに持つセミたちではないか？という説です。

上記で上げた、１２年ゼミから１８年ゼミが存在した場合、素数サイクルをもつのは１３年ゼミと１７年ゼミのみです。

話を単純化させるため、この７種のセミがある年に一斉に発生したとし、その後、それぞれのセミが何年後に同時に発生するかを見てみましょう。

それぞれのセミが次に同時に発生する最小周期は、それぞれの組み合わせの最小公倍数と一致するため、以下の通りとなります。

１２年ゼミ＋１３年ゼミ　１５６年周期

１２年ゼミ＋１４年ゼミ　８４年周期

１２年ゼミ＋１５年ゼミ　６０年周期

１２年ゼミ＋１６年ゼミ　４８年周期

１２年ゼミ＋１７年ゼミ　２０４年周期

１２年ゼミ＋１８年ゼミ　３６年周期

１３年ゼミ＋１４年ゼミ　１８２年周期

１３年ゼミ＋１５年ゼミ　１９５年周期

１３年ゼミ＋１６年ゼミ　２０８年周期

１３年ゼミ＋１７年ゼミ　２２１年周期

１３年ゼミ＋１８年ゼミ　２３４年周期

１４年ゼミ＋１５年ゼミ　２１０年周期

１４年ゼミ＋１６年ゼミ　１１２年周期

１４年ゼミ＋１７年ゼミ　２３８年周期

１４年ゼミ＋１８年ゼミ　１２６年周期

１５年ゼミ＋１６年ゼミ　２４０年周期

１５年ゼミ＋１７年ゼミ　２５５年周期

１５年ゼミ＋１８年ゼミ　９０年周期

１６年ゼミ＋１７年ゼミ　２７２年周期

１６年ゼミ＋１８年ゼミ　１４４年周期

１７年ゼミ＋１８年ゼミ　３０６年周期

これを周期の長い順に並べ替えてみます。

１７年ゼミ＋１８年ゼミ　３０６年周期

１６年ゼミ＋１７年ゼミ　２７２年周期

１５年ゼミ＋１７年ゼミ　２５５年周期

１５年ゼミ＋１６年ゼミ　２４０年周期

１４年ゼミ＋１７年ゼミ　２３８年周期

１３年ゼミ＋１８年ゼミ　２３４年周期

１３年ゼミ＋１７年ゼミ　２２１年周期

１４年ゼミ＋１５年ゼミ　２１０年周期

１３年ゼミ＋１６年ゼミ　２０８年周期

１２年ゼミ＋１７年ゼミ　２０４年周期

１３年ゼミ＋１５年ゼミ　１９５年周期

１３年ゼミ＋１４年ゼミ　１８２年周期

１２年ゼミ＋１３年ゼミ　１５６年周期

１６年ゼミ＋１８年ゼミ　１４４年周期

１４年ゼミ＋１８年ゼミ　１２６年周期

１４年ゼミ＋１６年ゼミ　１１２年周期

１５年ゼミ＋１８年ゼミ　９０年周期

１２年ゼミ＋１４年ゼミ　８４年周期

１２年ゼミ＋１５年ゼミ　６０年周期

１２年ゼミ＋１６年ゼミ　４８年周期

１２年ゼミ＋１８年ゼミ　３６年周期

組み合わせは２１種類、１３年ゼミと１７年ゼミは周期の長いほうからベスト１２にすべて収まります。

逆に言うと周期の短いほうから数えてワースト９には含まれません。

当然といえますが、約数の少ない素数のサイクルを持つセミのほうがはるかに交雑を避けるのに適していることがわかります。

１３年ゼミは最低でも１５６年周期、１７年ゼミに至っては最低で２０４年周期でしか他の周期のセミたちと同時に発生しません。

サイクルの短い交雑種は死に絶える可能性が高く、長い年月をかけて淘汰されてしまったのではないか、という説です。

参考までに１２年ゼミ～１８年ゼミが同時に発生した年から、次に奇跡の７種同時発生するのは１００万年以上先の、１,１１３,８４０年後です。

ちなみに、１２年～１８年ゼミで都合よく検証していますが、その前後の１１年と１９年も素数であり、それはどうなのか？ということには一切お答えできません。（笑）

例えば１７年以上のサイクルは幼虫期間として限界の長さであり天敵に食べられてしまうリスクの方が高い、逆に１３年以下であれば他の毎年発生するセミたちのようなライフサイクルの方が生存に適している、とかなんとか、きっとなにかなにか理由があるんでしょう。（笑）

すみませんが、それについては分かりません。

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